« Quatro ! » et « Contre ! » sont les deux seuls gestes qui marquent, et tous deux referment la manche, justes ou faux. Cette page suppose les règles connues et chiffre ce que chaque cri rapporte ou coûte, à quatre, six ou huit joueurs, pour décider quand crier et quand se taire.
Juste, un cri vaut toujours la même chose : un point pour votre équipe, et la manche s’arrête. C’est quand ils sont faux que les deux cris diffèrent. Une annonce fausse donne un point à chacune des autres équipes : une à quatre joueurs, deux à six, trois à huit. Un contre faux n’en donne qu’un, à l’équipe que vous avez accusée et à elle seule.
À quatre joueurs, ces deux cas se confondent, puisqu’il n’y a qu’une équipe en face : chaque manche décidée distribue exactement un point, et une manche sans cri n’en distribue aucun. La partie s’arrêtant à cinq points, elle se joue en neuf manches décidées au plus, et deux équipes ne peuvent jamais y atteindre l’objectif ensemble.
Un point gagné n’est jamais retiré, et aucun cri ne fait perdre de point à celui qui se trompe : l’erreur se paie en points offerts aux autres. Tout ce qui suit se compte donc en écart avec l’adversaire, et non en points propres.
Appelez q la probabilité que votre cri soit juste : que votre partenaire tienne bien un carré, ou que l’équipe accusée en tienne un. À quatre joueurs, un cri juste creuse l’écart d’un point en votre faveur, un cri faux d’un point contre vous. Le cri vaut donc q − (1 − q), soit 2q − 1, et il n’est favorable que si q dépasse une chance sur deux.
Ce seuil suppose que se taire ne coûte rien, c’est-à-dire que la manche, si personne ne crie, reste aussi ouverte pour un camp que pour l’autre. C’est à peu près le cas de l’annonce au jugé, faite sans signe : tant que votre partenaire n’a rien émis, deviner son carré n’est rentable que si vous en êtes plus sûr que du contraire, ce qui arrive rarement sans signe.
Sur un signe de votre partenaire, en revanche, q est proche de un, et chaque seconde perdue est un risque : tant que vous n’avez pas annoncé, votre équipe tient un carré, et n’importe quel adversaire qui la contre a raison. L’annonce sur signe se fait sans délai.
Le contre n’a pas ce luxe. Quand un adversaire prend la main et émet, deux issues se préparent : si c’est son vrai signe, son partenaire va annoncer, et l’écart tournera d’un point contre vous ; si c’est un leurre, la manche continue. Se taire n’est plus neutre, c’est accepter de perdre le point chaque fois que le signe est vrai.
Refaites le compte dans le cas extrême où, faute de contrer tout de suite, vous laissez toujours passer l’annonce. Contrer vaut 2q − 1. Se taire vaut −q, puisque le point est perdu avec la probabilité q et que rien ne se passe sinon. Contrer est meilleur dès que 2q − 1 dépasse −q, c’est-à-dire dès que q dépasse un tiers. En pratique, attendre une émission de plus laisse parfois le temps de contrer mieux renseigné : le vrai seuil se situe entre un tiers et une moitié, d’autant plus près d’un tiers que le partenaire adverse est rapide.
Retournée, la même arithmétique dit ce que vaut le leurre. Si moins d’une de vos prises de main sur trois cache un vrai signe, contrer chaque fois coûte en moyenne davantage à l’adversaire que de vous laisser faire, puisque 2q − 1 est alors inférieur à −q. Le leurre, décrit dans « Le signe et le leurre », sert exactement à faire baisser cette proportion.
Ni l’annonce ni le contre ne regardent l’histoire de la manche. Le serveur traite les gestes dans leur ordre d’arrivée, et chaque cri examine les mains au moment précis où il est traité : la main du partenaire pour une annonce, les deux mains de l’équipe accusée pour un contre. Un carré défait un instant plus tôt n’existe plus.
Or un carré ne survit à aucun échange. Celui qui le tient détient les quatre exemplaires de son rang ; aucun n’est au centre, et tout échange lui fait donc poser une carte de son carré pour prendre une carte d’un autre rang. Une fois votre carré réuni et votre signe émis, ne touchez plus au centre : un échange par réflexe transforme l’annonce de votre partenaire en annonce fausse.
La même règle joue dans l’autre sens : contrer une équipe qui tenait un carré il y a un instant ne sert à rien si elle vient de le défaire. Et le premier cri clôt la manche pour tout le monde : quand deux joueurs crient presque ensemble, seul le premier arrivé au serveur compte, et le second est refusé.
Quand plusieurs équipes vous font face, les deux cris cessent d’être symétriques. Additionnez l’écart avec chacune des k équipes adverses, k valant deux à six joueurs et trois à huit. Une annonce juste vous fait gagner un point sur chacune, une annonce fausse leur en donne un à toutes : elle vaut plus k ou moins k, et son seuil reste une chance sur deux.
Un contre juste vous fait gagner, lui aussi, un point sur chacune ; un contre faux n’en donne qu’un, à une seule équipe. Il vaut donc plus k ou moins un, et il devient favorable dès que q dépasse une chance sur k + 1 : un tiers à six joueurs, un quart à huit. C’est le cri le moins risqué des grandes tables.
Mais q comprend désormais le choix de la cible : un contre nomme une équipe, et le carré d’une autre ne le sauve pas. Le voyant vous aide, puisqu’il désigne un joueur et donc sa paire. Si vous êtes sûr qu’une seule équipe adverse tient un carré sans savoir laquelle, en désigner une au hasard vous donne une chance sur deux à six joueurs et une sur trois à huit : au-dessus du seuil dans les deux cas.
Les robots ne prennent la main que lorsqu’ils tiennent un carré, n’émettent alors que leur vrai signe, et cessent d’échanger tant qu’ils la gardent. Un robot dont le voyant s’allume tient donc un carré, et il le gardera jusqu’à la fin de la manche. Contrer son équipe à cet instant, c’est un contre juste à coup sûr : une certitude que le jeu n’offre presque jamais sur une main adverse.
Le temps joue pour vous. Si son partenaire est lui aussi un robot, il ne réagit qu’au signe, donc pas avant la première émission, au tic suivant de la table ; il annonce ensuite au rythme de son niveau. Entre l’allumage du voyant et ce tic, la voie est libre ; passé le tic, c’est une course.
Si c’est votre partenaire qui est un robot, la même propriété vous sert : son voyant suffit. Annoncez dès qu’il s’allume, sans attendre l’émoji, et vous retirez aux adversaires le reste du tic pendant lequel ils pourraient contrer. Une seule exception, dans les deux sens : un rebattage ne rend pas les mains prises, si bien qu’après une nouvelle donne un voyant resté allumé ne garantit plus aucun carré.
L’objectif est de cinq points. À quatre joueurs, quand l’adversaire en compte quatre, n’importe quel cri faux de votre part lui donne la partie, et non plus seulement la manche. À quatre partout, le premier cri décide de tout, juste ou faux ; les seuils ne changent pas, puisque le prochain point vaut la partie pour les deux camps, mais une hésitation ne se rattrape plus.
À six et à huit apparaît une situation inconnue à quatre : deux équipes adverses à quatre points. Une annonce fausse de votre part les porte alors ensemble à cinq, et le moteur les déclare gagnantes ensemble, puisque toutes les équipes qui partagent le meilleur score l’emportent dès qu’il atteint l’objectif. Un contre faux, lui, n’en couronne qu’une.
Une manche nulle, enfin, ne rapporte rien à personne et ne retire rien non plus. Quand aucun cri n’atteint son seuil, se taire jusqu’au bout est une issue légitime : la manche suivante se rejoue sur des mains neuves et des signes neufs.